tính cấp số nhân

1. Cấp số nhân là gì?

Bạn đang xem: tính cấp số nhân

Cấp số nhân là 1 sản phẩm số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhị, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng tức thì trước nó với một số trong những ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cung cấp số nhân). Có nghĩa là:

$u_{n}$ là cung cấp số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n\epsilon N^{\ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$, với $u_{n}=3^{n}$ là 1 cung cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội $q=3$.

2. Công bội q

q là công bội của cung cấp số nhân $(u_{n})$ có 

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cung cấp số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$. Tính công bội q

Ta có: 

$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cung cấp số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có: 

$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$

3. Tính hóa học cung cấp số nhân

• $(u_{n})$ là 1 cung cấp số nhân thì kể từ số hạng loại nhị, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cung cấp số nhân hữu hạn) tiếp tục bởi vì tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

• Nếu một cung cấp số nhân $(u_{n})$ sở hữu số hạng đầu $(u_{1})$ và công bội q thì số hạng tổng quát mắng $(u_{n})$ sẽ tiến hành tính bởi vì công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cung cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0. 

Biết u₁ = 1; u₃ =3. Hãy dò xét u₄

Lời giải: 

Ta có: u₂² = u₁ . u₃ = 3

          u₃² = u₂ . u₄

Từ (1) vì thế u₂  > 0 ( vì thế u₁=1 > 0 và q > 0)

$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

• Khi q = 0 thì sản phẩm sở hữu dạng u₁; 0;0…;0;… và S_n=u₁ 

• Khi q = 1 thì sản phẩm sở hữu dạng u₁;u₁;u₁;...;u₁;... và S_n=nu₁.

• Khi u₁ = 0 thì với từng q, cung cấp số nhân sở hữu dạng 0; 0; 0;…; 0;… và S_n=u₁.

Đăng ký tức thì nhằm được trao đầy đủ cỗ kỹ năng về cung cấp số nhân

4. Tổng hợp ý những công thức tính cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

• Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall  n \geq 1$

• Kết luận: 

• Nếu q là ko thay đổi thì sản phẩm u_n là cung cấp số nhân

• Nếu q thay cho thay đổi thì sản phẩm u_n ko là cung cấp số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cung cấp số nhân sở hữu số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng thứ nhất.

Lời giải: 

Ta sở hữu 6 số hạng thứ nhất là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân U_n sở hữu số hạng loại nhị là 10 và số hạng loại năm là 1250.

1. Tìm số hạng loại nhất

2. Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

1. Đặt r là công bội của cung cấp số nhân.

 Ta có: r^(5-2) = r³ hoặc r³ = 1250 : 10 = 125 = 5³. Từ bại liệt r = 5. 

$\Rightarrow$ u1=10=5=2. 

Số hạng loại nhất là 2 

2. 2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài mang lại cung cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$. Dãy số U_n bên trên là cung cấp số nhân trúng hoặc sai? 

Lời giải: 

Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không tùy thuộc vào n. Vậy sản phẩm số (U_n) là 1 cung cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$ 

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cung cấp số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc điểm của CSN, biến hóa nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cung cấp số nhân U_n sở hữu U₁ = 2, U₂ = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tao có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

Ví dụ 2: Cho cung cấp số nhân U_n sở hữu U₁ = 3, U₂ = -6. Tính công bội q.

Lời giải: 

Từ công thức tao có: 

$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$

Ví dụ 3: Đề mang lại phụ vương số x,y,z lập trở nên một cung cấp số nhân và phụ vương số x, 2y, 3z lập trở nên một cung cấp số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải: 

Đặt q là công bội của cung cấp số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở nên một cung cấp số nằm trong $\Rightarrow x+3z=4y$

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cung cấp số nhân

Phương pháp:

Để dò xét số hạng của cung cấp số nhân tao dùng công thức tính số hạng tổng quát mắng U_n = U₁.q_n-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u₁ và q  của cung cấp số nhân biết: 

Lời giải: 

Ví dụ 2: Bài mang lại cung cấp số nhân (u_n) với u₃ = 8 , u₅ = 32. Số hạng loại 10 của cung cấp số nhân bại liệt là? 

Lời giải: 

Gọi q là công bội của cung cấp số nhân (u_n), tao sở hữu $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$

Với q = 2, tao sở hữu u₁₀ = u₃ . q^₇ = 8 . 2^₇ = 1024

Với q = -2, tao sở hữu u₁₀ = u₃ . q⁷= 8 . (-2)⁷ = -1024

Ví dụ 3: Cho cung cấp số nhân (u_n), hiểu được số hạng thứ nhất u₁ = 3, công bội là 2. Hãy dò xét số hạng loại 5

Lời giải: 

Áp dụng công thức tao sở hữu : u_n = u₁ . q^n–1

$\Leftrightarrow$ u₅ = u₁ . q⁴ =3 . 2⁴ = 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cung cấp số nhân của n số hạng thứ nhất nhập dãy

Ta dùng công thức:

Ví dụ 1: Tính tổng cung cấp số nhân:

$S = 2 + 6 + 18 + 13122$

Lời giải:

(u_n) sở hữu u₁=2 và q = 3. 

$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$

Ví dụ 2: Bài mang lại cung cấp số nhân (u_n) với

1. 5 số hạng đầu của cung cấp số nhân bên trên là gì? 

2. 10 số hạng đầu của cung cấp số nhân (u_n) bên trên sở hữu tổng là bao nhiêu? 

Lời giải: 

Ví dụ 3: Cho cung cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$

1. Dãy số là cung cấp số nhân là trúng hoặc sai?

2. Tính S = u₂ + u₄ + u₆... + u₂₀

Lời giải: 

1. Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ ko tùy thuộc vào n. Vậy sản phẩm số (U_n) là 1 cung cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$ 

   Xem thêm: nh3+co2

2. Dãy số: u₂, u₄, u₆,..., u₂₀ lập trở nên một cung cấp số nhân với số hạng đầu là u₂ = 9, q = 3 

$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác quyết định những bộ phận kết cấu nên một cung cấp số nhân như: số hạng đầu U₁, công bội q tiếp sau đó suy rời khỏi được công thức mang lại số hạng tổng quát mắng .

Ví dụ 1: CSN (u_n) như sau, dò xét u₁ khi:

Lời giải: 

Ví dụ 2: Dãy số này là cung cấp số nhân: 

1. 1;0,2;0,04;0,008;...

2. 1,22,222,2222,...

3. X,2x,3x,4x,...

4. 2,3,5,7,...

Lời giải: 

Xét đáp án A tao có: 

u₁ = 1, u₂ = u₁ . 0,2, u₃ = u₁ . (0,2)², u₄ = u₁ . (0,2)³

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tao chứng tỏ được u_n = (0,2)ⁿ

Khi bại liệt $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2$ ko đổi

Vậy sản phẩm số là cung cấp số nhân sở hữu công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cung cấp số nhân sở hữu sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải: 

Gọi cung cấp số nhân (u_n) cần thiết dò xét sở hữu công bội q, số hạng thứ nhất u_n.

Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}$

s₅' = u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆

= u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q

= q . (u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅)

= q . S₅

Mà S₅ = 31; S₅' = 62

$\Rightarrow q=2$

$u1=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1$

Vậy cung cấp số nhân (u_n) là 1;2;4;8;16;32

Nắm đầy đủ kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài bác luyện Toán trung học phổ thông với cỗ bí mật độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cung cấp số nhân (u_n) sở hữu công bội q thỏa mãn nhu cầu -1 < q <1 thì cung cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S_n = u₁(1 - qⁿ)(1 - q) = u₁(qⁿ - 1)(q - 1)

 Trong bại liệt s_n là tổng n số hạng thứ nhất của cung cấp số nhân (u_n)

Ví dụ: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243}$ là một cung cấp số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{3}$

5.2. Bài toán tổng của cung cấp số nhân lùi hạn

Đề bài bác mang lại cung cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tao sở hữu tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Tính tổng 

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1, q=\frac{-1}{3}$ nên 

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2: Biểu trình diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải: 

Ta có: 

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}$

Vậy $0,777...=\frac{7}{9}$

Ví dụ 3: Tổng của một cung cấp số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ tổng phụ vương số hạng thứ nhất của sản phẩm số là $\frac{39}{25}$. Xác quyết định (u₁), q của cung cấp số đó?

Lời giải: 

6. Một số bài bác luyện cung cấp số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cung cấp số nhân un sở hữu công bội q

1. Biết u₁ = 2, u₆ = 486. Tìm q

2. Biết q= $\frac{2}{3}$, u₄ = $\frac{8}{21}$. Tính u₁

3. Biết u₁ = 3, q = -2. Xác quyết định số 192 là số hạng loại bao nhiêu nhập cung cấp số nhân?

Lời giải: 

Câu 2: Tìm những số hạng của cung cấp số nhân (u_n) biết cung cấp số nhân bao gồm sở hữu 5 số hạng và:

1. TH1: u₃ = 3 , u₅ = 27

2. TH2: u₄ – u₂ = 25 ,  u₃ – u₁ = 50

Lời giải: 

Ví dụ 3: Tìm cung cấp số nhân sở hữu sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng số lượng dân sinh của tỉnh x là một trong,4%. sành rằng bên trên thời khắc tham khảo số dân của tỉnh lúc bấy giờ là một trong,8 triệu con người, căn vặn với nấc tăng bổng như thế thì sau 5 năm, 10 năm số nữa số lượng dân sinh của tỉnh bại liệt là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh bại liệt lúc này là N 

Sau 1 năm số lượng dân sinh tăng là một trong,4%N 

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này đó là n + 1,4%N = 101,4%N 

Số dân tỉnh bại liệt sau từng năm lập trở nên một cung cấp số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; … 

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân) 

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài bác mang lại u_n sở hữu những số hạng 0, tìm  u₁ biết:

$u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}$. Mà $u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9$

Lời giải: 

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cung cấp số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài bác luyện kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo và huấn luyện nhằm học tập và ôn luyện kỹ năng Toán 11 phục vụ ôn đua trung học phổ thông QG tức thì kể từ thời điểm hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

Xem thêm: c ra co2

• Tổng hợp ý những công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân & bài bác tập
• Cấp số nằm trong là gì? Công thức cung cấp số nằm trong và bài bác tập
• Xác suất của biến đổi cố
• Giới hạn của sản phẩm số