Lý thuyết phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến của mặt mày phẳng lì.

* Cho mặt mày phẳng lì \((P)\) , vectơ \(\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}\) mà giá chỉ của chính nó vuông góc với mặt mày phẳng lì \((P)\) thì \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt mày phẳng lì \((P)\).

* Cho mặt mày phẳng lì \((P)\) , cặp vectơ \(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) không nằm trong phương tuy nhiên giá chỉ của bọn chúng là hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song hoặc nằm trong mặt mày phẳng lì \((P)\) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt mày phẳng lì \((P)\). Khi bại vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]\). là vectơ pháp tuyến của mặt mày phẳng lì \((P)\).

* Nếu \(\overrightarrow{a}\) \( = \;\left( {{a_1};{\rm{ }}\;{a_{2\;}};{\rm{ }}{a_3}} \right)\), \(\overrightarrow{b}\) \( = \;\left( {{b_1}\;;{\rm{ }}{b_2}\;;{\rm{ }}{b_3}} \right)\) thì :

\(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]=(\begin{vmatrix} a_{2}&a_{3} \\ b_{2}& b_{3} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{3} & a_{1}\\ b_{3}&b_{1} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2}\\ b_{1}& b_{2} \end{vmatrix})\)

\( = \left( {{a_2}{b_3}\;-{\rm{ }}{a_3}{b_{2\;}};{\rm{ }}{a_3}{b_1}\;-{\rm{ }}{a_1}{b_3}\;;{\rm{ }}{a_1}{b_2}\;-{\rm{ }}{a_2}{b_1}} \right).\)

* Mặt phẳng lì trọn vẹn được xác lập lúc biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của chính nó, hay như là một điểm nằm trong mặt mày phẳng lì và cặp vectơ chỉ phương của chính nó.

2. Phương trình mặt mày phẳng lì.

* Mặt phẳng lì \((P)\) qua loa điểm \({M_{0\;}}\left( {{x_0}\;;{\rm{ }}{y_{0\;}};{\rm{ }}{z_0}} \right){\rm{ }}\;\) và nhận \(\overrightarrow{n}\) \(\left( {A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C} \right)\) thực hiện vectơ pháp tuyến với phương trình với dạng: \(A\left( {x\;-\;{x_0}} \right) + B\left( {y-{y_0}} \right) + C\left( {z-{z_0}} \right) = 0\)

* Mọi mặt mày phẳng lì nhập không khí với phương trình tổng quát mắng với dạng:

\(\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;Ax{\rm{ }} + {\rm{ }}By + Cz + D = 0{\rm{ }}\;{\rm{ }} \text {ở bại }\;{A^2} + {\rm{ }}{B^2}\; + {C^{2\;}} > 0.\) Khi bại vectơ \(\vec n\,(A;B;C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt mày phẳng lì.

* Mặt phẳng lì trải qua tía điểm \(M\left( {a;0;0} \right),{\rm{ }}N\left( {0;b;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;c} \right)\) ở bại \(abc\; \ne 0\) với phương trình :\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\). Phương trình này còn được gọi là phương trình mặt mày phẳng lì bám theo đoạn chắn.

3. Vị trí kha khá của nhị mặt mày phẳng lì.

Cho nhị mặt mày phẳng lì \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) với phương trình :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{P_1}} \right):\;{A_1}x + {B_1}y\; + {C_1}z + {D_1}\; = 0;}\\
{\left( {{P_2}} \right):\;{A_2}x + {B_2}y\; + {C_2}z + {D_2}\; = 0.}
\end{array}\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} \;(A1;B1;C1) \bot (P1)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \;(A2;B2;C2) \bot (P2)\). Khi đó:

Xem thêm: cr + hno3 đặc nóng

\(({P_1})\; \bot \;({P_2})\) ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}\perp \overrightarrow{n_{2}}\) ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}\) \(\; \Leftrightarrow {\rm{ }}{A_1}{A_2}\; + {\rm{ }}{B_1}{B_2}\; + {\rm{ }}{C_1}{C_2}\; = {\rm{ }}0\)

\(\left( {{P_1}} \right)\;//\;\left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\) và \({D_1}\; \ne {\rm{ }}k.{D_2}\;\left( {k\; \ne {\rm{ }}0} \right).\)

\(\left( {{P_1}} \right) \equiv \;\left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\) và \(\;{D_1}\; = {\rm{ }}k.{D_{2.}}\)

\(\left( {{P_1}} \right) \text {cắt} \left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}\neq k.\overrightarrow{n_{2}}\) (nghĩa là \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) không nằm trong phương).

4. Khoảng cơ hội từ là 1 điểm đến lựa chọn một phía phẳng lì.

Trong không khí \(Oxyz\) mang lại mặt mày phẳng lì \((P)\) với phương trình:

\(Ax + By + Cz +D = 0\) và điểm \({M_{0\;}}\left( {{x_0}\;;{\rm{ }}{y_{0\;}};{\rm{ }}{z_0}} \right).\) .Khoảng cơ hội từ M₀đến \((P)\) được mang lại bởi vì công thức:

\(d({M_0},P) = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

5. Góc thân thiết nhị mặt phẳng lì.

Cho nhị mặt mày phẳng lì \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) có phương trình :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{P_1}} \right):\;{A_1}x + {B_1}y\; + {C_1}z + {D_1}\; = 0;}\\
{\left( {{P_2}} \right):\;{A_2}x + {B_2}y\; + {C_2}z + {D_2}\; = 0.}
\end{array}\)

Gọi \(\varphi \) là góc thân thiết nhị mặt mày phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) thì \(0\; \le \;\varphi {\rm{ }} \le {\rm{ }}{90^{0\;}}\) và :

\(cos\varphi =|cos\widehat{\left (\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right )}|=\dfrac{|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}+D|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\).