Lý thuyết hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy quá là những hàm số dạng \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha \in R} \right)\). Các hàm số lũy thừa sở hữu luyện xác lập không giống nhau, tùy từng \(\alpha\):

- Nếu \(\alpha\) nguyên vẹn dươngthì luyện những tấp tểnh là \(R\).

- Nếu \(\alpha \) nguyên vẹn âm hoặc \(\alpha = 0\) thì luyện những tấp tểnh là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\).

- Nếu \(\alpha \) ko nguyên vẹn thì luyện những tấp tểnh là \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Chú ý: Hàm số \(y = \sqrt x \) có luyện xác lập là \(\left[ {0; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) có luyện xác lập \(R\), trong những khi cơ những hàm \(y = {x^{\frac{1}{2}}},nó = {x^{\frac{1}{3}}}\) đều sở hữu luyện xác lập \((0; +∞)\). Vì vậy \(y = \sqrt x \) và \(y = {x^{\frac{1}{2}}}\) ( hoặc \(y = \sqrt[3]{x}\) và \(y = {x^{\frac{1}{3}}}\)) là những hàm số không giống nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón tổng quát

- Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có đạo hàm tai từng \(x ∈ (0; +∞)\) và \(y' = \left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)

- Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận độ quý hiếm dương và sở hữu đạo hàm trong tầm \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }\left( x \right)\) cũng sở hữu đạo hàm trên \(J\) và \[y' = \left[ {{u^\alpha }\left( x \right)} \right]' = \alpha {u^{\alpha - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón nguyên vẹn dương

Trong tình huống số nón nguyên vẹn dương, hàm số lũy thừa \(y=x^n\) có luyện xác lập là \(R\) và sở hữu đạo hàm bên trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát mắng được không ngừng mở rộng thành \(\forall x \in R,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\] nếu \(u= u(x) \) sở hữu đạo hàm trong tầm \(J\).

4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón nguyên vẹn âm

Nếu số nón là số nguyên vẹn âm thì hàm số lũy thừa \(y=x^n\) sở hữu luyện xác lập là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\) và sở hữu đạo hàm bên trên từng \(x\) không giống \(0\), công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát mắng được không ngừng mở rộng trở nên \(\forall x \ne 0,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]

nếu \(u= u(x) \ne 0\) sở hữu đạo hàm trong tầm \(J\).

5. Đạo hàm của căn thức

Xem thêm: Chi tiết giá giày Vans chính hãng cập nhật mới nhất trên thị trường

Hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) có thể coi là không ngừng mở rộng của hàm lũy quá \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) (tập xác lập của \(y = \sqrt[n]{x}\) chứa luyện xác lập của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) và bên trên luyện xác lập của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi \(n\) lẻ thì hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) sở hữu luyện xác lập \(R\). Trên khoảng tầm \((0; +∞) \) tao sở hữu \(y = \sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) và \(\left( {{x^{\frac{1}{n}}}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{\frac{1}{n} - 1}}\), bởi vậy \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\).

Công thức này còn trúng cả với \(x < 0\) và hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) không sở hữu đạo hàm bên trên \(x= 0\).

Khi \(n\) chẵn hàm \(y = \sqrt[n]{x}\) có luyện xác lập là \([0;+∞)\), không tồn tại đạo hàm tại \(x= 0\) và sở hữu đạo hàm bên trên từng \(x > 0\) tính theo công thức:

\[ \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\]

Tóm lại, tao có \( \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) đúng với từng \(x\) thực hiện mang đến nhì vế sở hữu nghĩa.

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ăn ý tao suy ra: Nếu \(u=u(x)\) là hàm sở hữu đạo hàm bên trên khoảng tầm \(J\) và thỏa mãn nhu cầu ĐK \(u(x) > 0, ∀x ∈ J\) Khi \(n\) chẵn, \(u\left( x \right) \ne 0,\forall x \in J\) khi \(n\) lẻ thì

\[\forall x \in J,\left( {\sqrt[n]{{u\left( x \right)}}} \right)' = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}\left( x \right)}}}}\]

6. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên khoảng tầm \((0; +∞)\)

Chú ý: Khi tham khảo hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha \) ví dụ, cần thiết xét hàm số bên trên toàn luyện xác lập của chính nó (chứ ko nên chỉ xét bên trên khoảng tầm \((0; +∞)\) như trên).