hai đường thẳng vuông góc

Bài toán hình học tập hai đường thẳng vuông góc là vấn đề thông thường xuyên xuất hiện tại trong những đề ganh đua. sành được vai trò của chính nó, VUIHOC viết lách bài bác này một cơ hội cụ thể nhất gom những em rất có thể thâu tóm phần kỹ năng này một cơ hội hiệu suất cao nhất

1. Lý thuyết về tích vô vị trí hướng của nhị vectơ

1.1. Góc thân thuộc nhị vectơ

Góc thân thuộc 2 vectơ vô không khí được khái niệm trọn vẹn tương tự động góc thân thuộc nhị vectơ vô mặt mũi phẳng lặng. 

Bạn đang xem: hai đường thẳng vuông góc

Nếu tối thiểu 1 trong nhị vectơ là vectơ ko thì góc thân thuộc nhị véc tơ cơ ko xác lập (đôi Lúc một trong những tư liệu cũng coi góc thân thuộc nhị véc tơ cơ vị 0). Còn vô tình huống cả hai véc tơ đều không giống véc tơ ko thì tao tổ chức fake về cộng đồng gốc.

hai đường thẳng vuông góc

Trong không khí mang đến nhị vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$. Lấy A là 1 điểm bất kì, gọi B là vấn đề sao mang đến $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ là điểm sao mang đến. Khi cơ góc $\widehat{BAC}$ được gọi là góc thân thuộc nhị vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, kí hiệu là $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. 

Rõ ràng kể từ khái niệm bên trên tao suy đi ra được góc thân thuộc nhị véc tơ đem một trong những đặc thù. Chẳng hạn: 

  • Góc thân thuộc nhị véc tơ vị 0º Lúc và chỉ Lúc nhị véc tơ cơ nằm trong chiều. 

  • Góc thân thuộc nhị véc tơ vị 180º Lúc và chỉ Lúc nhị véc tơ cơ trái chiều. 

  • Góc thân thuộc nhị véc tơ vị 90º Lúc và chỉ Lúc nhị véc tơ cơ vuông góc.

Cách tính góc thân thuộc 2 vecto vô Oxyz

Áp dụng công thức tính góc thân thuộc nhị vecto gom chúng ta có thể tính được những vấn đề cơ phiên bản một cơ hội nhanh gọn nhất. Dưới đấy là công thức tổng quát tháo phần mềm cho những vecto vô không khí. Để tính được góc thân thuộc nhị vecto, dùng công thức sau nhằm tính cosin của góc rồi kể từ cơ thay đổi trở thành số đo nếu như đề bài bác đòi hỏi.

Cho nhị vecto $\vec{u}(\vec{x}; \vec{y}; \vec{z})$ và $\vec{v}(\vec{x'}; \vec{y'}; \vec{z'})$, góc thân thuộc nhị vecto $\vec{u}, \vec{v}$ được xem theo dõi công thức:

$cos(\vec{u};\vec{v})= \frac{\vec{u}.\vec{v}}{\left |\vec{u}  \right |.\left |\vec{v}  \right |}=\frac{x.x'+y.y'+z.z'}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.\sqrt{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}$

1.2. Tích vô vị trí hướng của nhị vectơ vô ko gian

Tích vô vị trí hướng của nhị vecto vô không khí trọn vẹn tương tự động như vô mặt mũi phẳng lặng. Tại trên đây tất cả chúng ta chỉ nhắc đến công thức tính tích vô phía 2 véc tơ vị tọa phỏng. Công thức tích vô hướng:

Cho nhị vecto $\vec{a}=(x_{1};y_{1};z_{1}) , \vec{b}=(x_{2};y_{2};z_{2})$. Khi đó:

Tích vô vị trí hướng của nhị vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là:

$\vec{a}.\vec{b}=x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}+z_{1}.z_{2}$

1.3. Vectơ chỉ phương của đàng thẳng

Hình hình họa vectơ chỉ phương của đường thẳng liền mạch - kỹ năng về hai đường thẳng vuông góc

- Giá của vectơ là đường thẳng liền mạch trải qua điểm gốc và điểm ngọn của vectơ cơ. 

- Cho đường thẳng liền mạch d. Ta đem vecto $\vec{u}$ không giống vecto 0 được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng liền mạch d nếu như giá bán của chính nó tuy nhiên song hoặc trùng với d. 

- Nếu là VTCP của d thì $k.\vec{u}$ cũng là VTCP của d. 

- VTCP và VTPT vuông góc cùng nhau. Nên suy đi ra tao có 

Nếu: $\vec{u}=(a, b)$

Thì:  $\vec{n}= (-b . a)$

Đây đó là cơ hội fake kể từ VTCP lịch sự VTPT và ngược lại. 

- Như vậy tao rất có thể đơn giản xác lập được đường thẳng liền mạch lúc biết một điểm nằm trong đường thẳng liền mạch và VTCP của đường thẳng liền mạch cơ.

1.4. Góc thân thuộc hai tuyến phố thẳng

Hình hình họa minh họa mang đến góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp - kỹ năng về hai đường thẳng vuông góc

Trong không khí với hệ trục tọa phỏng Oxyz, mang đến hai tuyến phố đường thẳng liền mạch d1, d2. Gọi $\vec{u_{1}}=(a_{1}; b_{1}; c_{1}),\vec{u_{2}}=(a_{2}; {b_{2}}; c_{2})$ theo lần lượt là vectơ chỉ phương của $d_{1}, d_{2}$

Khi cơ, cosin của góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp này được xem theo dõi công thức: 

$Cos (d_{1}, d_{2}) = \left |cos(\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})  \right | = \frac{u_{1}.u_{2}}{u_{1}.u_{2}} =  \frac{\left |a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}+c_{1}.c_{2}  \right |}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}$

Nắm hoàn toàn kỹ năng và cách thức giải những dạng bài bác luyện về vector ngay

2. Hai đường thẳng liền mạch vuông góc với nhau

Cùng thăm dò hiểu hai đường thẳng vuông góc lớp 11 với khái niệm và đặc thù của chính nó nhé!

2.1. Định nghĩa

Hai đường thẳng liền mạch được gọi là vuông góc cùng nhau nếu như góc thân thuộc bọn chúng vị 90o.

2.2. Tính chất

Tính hóa học hai đường thẳng vuông góc được trình diễn như sau:

Cho hai tuyến phố trực tiếp a và b đem vecto chỉ phương theo lần lượt là: $\vev{u_{1}} , \vec_{u_{2}}$

- Ta đem a vuông góc với b Lúc và chỉ Lúc tích vô vị trí hướng của vecto chỉ phương hai tuyến phố trực tiếp vị 0

$\vec{u_{1}}.\vec{u_{2}}=0$. 

- Nếu a / / b nhưng mà c ⊥ a thì c ⊥ b 

- Hai đường thẳng liền mạch vuông góc cùng nhau rất có thể tách nhau hoặc chéo cánh nhau. 

3. Các dạng toán về hai đường thẳng vuông góc 

3.1. Dạng 1: Tính góc thân thuộc hai tuyến phố thẳng

Để tính góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp $d_{1}; d_{2}$ vô không khí tao rất có thể triển khai theo dõi nhị cách 

- Cách 1. Tìm góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp $d_{1}; d_{2}$ bằng phương pháp chọn 1 điểm O phù hợp (O thông thường phía trên 1 trong hai tuyến phố thẳng).

Minh họa mang đến phương pháp tính góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp - kỹ năng về hai đường thẳng vuông góc 

Từ O dựng những đường thẳng liền mạch d1, d2 theo lần lượt tuy nhiên song (có thể tròng nếu như O phía trên 1 trong hai tuyến phố thẳng) với d1 và d2

Góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp d1, d2 đó là góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp d1, d2. 

Lưu ý : Để tính góc này tao hay được sử dụng toan lí cosin vô tam giác 

$cosA= \frac{b^{2}+c^{2} -a^{2}}{2bc}$

- Cách 2: Sử dụng công thức tính cosin góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp biết nhị véc tơ chỉ phương của bọn chúng. 

$cos(\varphi )=\left |cos(\vec{u}, \vec{v}  \right )|=\frac{\vec{u}. \vec{v}}{\left |\vec{u}  \right |.\left |\vec{v}  \right |}$

Ví dụ 1: Tính góc thân thuộc hai tuyến phố thẳng: 3x + nó - 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0.

A. 30⁰ B. 60⁰ C. 90⁰ D. 45⁰

Đường trực tiếp 3x + nó - 8 = 0 đem vector pháp tuyến  $\vec{n}_{a} = (3;1)$

Đường trực tiếp 4x − 2y + 10 = 0 đem vector pháp tuyến $\vec{n}_{b} = (4;-2)$

$cos(d_{1},d_{2})=\left |cos(\vec{n_{1};\vec{n_{2}}})  \right |=\frac{\left | \vec{n_{1}}. \vec{n_{2}} \right |}{\left | \vec{n_{1}} \right |.\left | \vec{n_{2}} \right |}=\frac{\left |3.4+1.(-2) \right |}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}.\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

=> (d1,d2) = 45o

Ví dụ 2: Tính góc thân thuộc 2 đường thẳng liền mạch (a): 3x + y− 2 = 0 và (b) 2x −y + 39 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường trực tiếp 3x + nó − 2 = 0 đem vector pháp tuyến $\vec{n_{a}} = (3;1)$

Đường trực tiếp 2x − nó +39 = 0 đem vector pháp tuyến  $\vec{n_{b}} = (2;-1)$

$cos(a,b)=\left |cos(\vec{n_{a};\vec{n_{b}}})  \right |=\frac{\left | \vec{n_{a}}. \vec{n_{b}} \right |}{\left | \vec{n_{a}} \right |.\left | \vec{n_{b}} \right |}=\frac{\left |3.2+1.(-1) \right |}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}.\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

=> (a,b) = 45o

3.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Cho hai tuyến phố trực tiếp a và b theo lần lượt đem 2 vectơ chỉ phương là u và v. Ta vận dụng một trong những cơ hội sau nhằm chứng tỏ hai đường thẳng vuông góc:

 1. Sử dụng những đặc thù về mối liên hệ vuông góc vô hình học tập phẳng lặng. 

- kể từ vuông góc cho tới tuy nhiên tuy nhiên, 

- đàng trung trực , đàng cao, 

- toan lý Pitago đảo 

- tính phỏng lâu năm đoạn trực tiếp, diện tích S của một nhiều giác                                

 2. Sử dụng khái niệm góc của 2 đường thẳng liền mạch vô ko gian: 

Hai đường thẳng liền mạch a và b được gọi vuông góc cùng nhau nếu như góc thân thuộc bọn chúng vị 90º.

 3. Sử dụng công thức $cos(\vec{u}, \vec{v})$: với $\vec{u}, \vec{v}$ là vecto chỉ phương của 2 đường thẳng liền mạch a và b.

   - Nếu $(\vec{u}, \vec{v})$ < 90º thì góc thân thuộc 2 đường thẳng liền mạch a và b vị $cos(\vec{u}, \vec{v})$

   - Nếu $(\vec{u}, \vec{v})$ > 90º thì góc thân thuộc 2 đường thẳng liền mạch a và b vị 180 - $cos(\vec{u}, \vec{v})$

4. Ta chứng tỏ tích vô hướng  $\vec{u}.\vec{v} = 0$ vô đó  

$\vec{u}$ và $\vec{v}$ theo lần lượt là vector chỉ phương của a và b 

5. Chứng minh đường thẳng liền mạch a vuông góc với mặt mũi phẳng lặng (P) chứa chấp đường thẳng liền mạch b.

6. Sử dụng hệ trái ngược của toan lý cosin: Trong tam giác ABC với AB = c; AC = b; BC = a 

Ta đem toan lý cosin như sau:

    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cosA$

    $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac.cosB$

    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.cosC$

Từ cơ suy ra: 

    $cosA = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

    $cosB = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

    $cosC = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Hệ trái ngược này còn có ý nghĩa sâu sắc đặc biệt quan liêu trọng: "Trong một tam giác tao luôn luôn tính được những góc nếu như biết 3 cạnh".

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC đem SA=SB=SC và $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}$. Chứng minh rằng: SA ⊥ BC 

Giải: 

Xét $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA}.(\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB}) = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}$

$= \left |\overrightarrow{SA}  \right |.\left |\overrightarrow{SC}  \right | cos \widehat{ASC} - \left |\overrightarrow{SA}  \right |.\left |\overrightarrow{SB}  \right | cos \widehat{ASB} = 0$

=> SA ⊥ BC 

Ví dụ 4: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh AB vuông góc với CD.

Giải

Lấy M là trung điểm của CD.

Vì $\Delta$ACD đều nên AM ⊥ CD $\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} = 0$

Tương tự động có:

 $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CD}=0$

Vì thế, tao có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow (\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}).\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}=0+0=0$

Suy đi ra AB ⊥ CD

Hình hình họa minh họa mang đến ví dụ 4 - kỹ năng về hai đường thẳng vuông góc

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng trong suốt lộ trình học tập kể từ rơi rụng gốc cho tới 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo dõi sở thích  

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô  

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks gom bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền vô quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test không tính tiền ngay!!

4. Bài luyện vận dụng

Câu 1: Khẳng toan này tại đây đúng?

A. Hai đường thẳng liền mạch nằm trong vuông góc với đường thẳng liền mạch loại tía thì tuy nhiên song cùng nhau.

B. Hai đường thẳng liền mạch nằm trong vuông góc với đường thẳng liền mạch loại tía thì vuông góc cùng nhau.

C. Hai đường thẳng liền mạch nằm trong tuy nhiên song với đường thẳng liền mạch loại tía thì tuy nhiên song cùng nhau.

D. Hai đường thẳng liền mạch nằm trong tuy nhiên song với đường thẳng liền mạch loại tía thì vuông góc cùng nhau.

Đáp án đúng: C

Phần dẫn ví dụ 2 là thắc mắc. phương án A và B sai vì như thế hai tuyến phố trực tiếp nằm trong vuông góc với đường thẳng liền mạch loại tía rất có thể tách nhau hoặc chéo cánh nhau.

Phương án C trúng vì như thế hai tuyến phố trực tiếp nằm trong tuy nhiên song với đường thẳng liền mạch loại tía thì phương của bọn chúng tuy nhiên song cùng nhau.

Phương án D sai vì như thế hai tuyến phố trực tiếp nằm trong tuy nhiên song với đường thẳng liền mạch loại tía thì rất có thể tuy nhiên song hoặc trùng nhau.

Câu 2: Các đường thẳng liền mạch nằm trong vuông góc với cùng 1 đường thẳng liền mạch thì:

A. nằm trong một phía phẳng

B. vuông góc với nhau

C. tuy nhiên song với một phía phẳng

D. tuy nhiên song với nhau

Đáp án đúng: C

Phương án A sai vì như thế rất có thể xẩy ra tình huống bọn chúng phía trên nhiều mặt mũi phẳng lặng không giống nhau

Phương án B sai vì như thế rất có thể xẩy ra tình huống bọn chúng tuy nhiên song với nhau

Xem thêm: quá trình khử nitrat là quá trình chuyển hóa

Phương án D sai vì như thế rất có thể xẩy ra tình huống bọn chúng tách nhau

Phương án C trúng vì như thế bọn chúng đồng phẳng

Câu 3: Cho một hình tứ diện ABCD, được biết AB = CD = a, $IJ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (trong cơ I và J theo lần lượt là những trung điểm của đoạn BC và AD). Số đo góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp AB và CD là

A. 30°

В. 45°

C. 60°

D. 90°

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng: C

Giả sử M và N theo lần lượt là trung điểm của đoạn trực tiếp AC và BC.

Та сó:

 $\left\{\begin{matrix}
MI=NI=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}\\ 
MI//AB//CD//NI
\end{matrix}\right.$

→ MINJ là hình thoi.

Gọi O là giao phó điểm của MN và IJ.

Ta có: $\widehat{MIN} = 2 \widehat{MIO}$

Xét ΔMIO vuông góc bên trên góc O , tao có:

$cos \widehat{MIO} = \frac{IO}{MI} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}} =\frac{\sqrt{3}}{2}$

=> $\widehat{MIO}$ = 30° → $\widehat{MIN}$ = 60°

Mà: (AB, CD) = (IM,IN) = $\widehat{MIN}$  = 60°

Hình hình họa minh họa mang đến bài bác 3- kỹ năng về hai đường thẳng vuông góc

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD đem lòng là hình vuông vắn ABCD cạnh vị a và những cạnh mặt mũi đều vị a. Gọi M và N theo lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc vị (MN, SC)

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Giải:

Hình hình họa minh họa mang đến bài bác 4 - kỹ năng về hai đường thẳng vuông góc

Câu 5: Trong không khí mang đến tía đường thẳng liền mạch phân biệt a, b, c. Khẳng toan này tại đây đúng?

A. Nếu a và b nằm trong vuông góc với c thì a // b.

B. Nếu a // b và c  ⊥ a thì c  ⊥ b.

C. Nếu góc thân thuộc a và c vị góc thân thuộc b và c thì a // b.

D. Nếu a và b nằm trong ở trong mp(a)//c thì góc thân thuộc a và c vị góc thân thuộc b và c.

Đáp án: B

Giải thích:

Nếu a và b nằm trong vuông góc với c thì a và b hoặc tuy nhiên song hoặc chéo cánh nhau.

C sai do:

Giả sử hai tuyến phố trực tiếp a và b chéo cánh nhau, tao dựng đường thẳng liền mạch c là đàng vuông góc cộng đồng của a và b. Khi cơ góc thân thuộc a và c vị với góc thân thuộc b và c và nằm trong vị 90°, tuy nhiên rõ ràng hai tuyến phố trực tiếp a và b ko tuy nhiên tuy nhiên.

D sai do: fake sử a vuông góc với c, b tuy nhiên song với c, Lúc cơ góc thân thuộc a và c vị 90°, còn góc thân thuộc b và c vị 0°.

Do cơ B trúng.

Câu 6: Cho tứ diện ABCD đem AB vuông góc với CD. Mặt phẳng lặng (P) tuy nhiên song với AB và CD theo lần lượt tách BC, DB, AD, AC bên trên M, N, Phường, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật.

D. Tứ giác ko nên là hình thang.

Giải:

Ảnh minh họa mang đến bài bác 6 - kỹ năng về hai đường thẳng vuông góc

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left\{\begin{matrix}
(MNPQ)//AB \\ 
(MNPQ)\cap (ABC)=MQ
\end{matrix}\right.$

 => MQ // AB.

Tương tự động tao có:

MN // CD, NP // AB, QP // CD.

Do cơ tứ giác MNPQ là hình bình hành

lại đem MN ⊥ MQ (do AB ⊥ CD).

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Đáp án đúng: C

Câu 7. Cho tứ diện ABCD đem AB = CD. Gọi I, J, E, F theo lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc thân thuộc (IE, JF) bằng:

A. 30o          B. 45o        C. 60o         D. 90o

Giải

Ảnh minh họa mang đến bài bác 7 - kỹ năng về hai đường thẳng vuông góc

 Từ fake thiết tao có:

- IJ là đàng tầm của tam giác ABC nên: IJ // AB; IJ = ½ AB 

- EF là đàng tầm của tam giác ABD nên: 

EF // AB; EF = ½ AB

$EF//AB;EF=\frac{1}{2}AB$

- Suy ra: tứ giác IJEF là hình bình hành (1)

- Lại có: IF là đàng tầm của tam giác ACD nên:

$IF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$ (vì AB = CD) (2)

- Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác IJEF là hình thoi.

⇒ IE ⊥ JF (tính hóa học hai tuyến phố chéo cánh của  hình thoi).

⇒ Do cơ, góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp IE và JF là: 90°.

Đáp án đúng: D

Câu 8. Trong không khí mang đến nhị tam giác đều ABC và ABC’ đem cộng đồng cạnh và ở trong nhị mặt mũi phẳng lặng không giống nhau. Gọi theo lần lượt M, N, Phường, Q là trung điểm của những cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì? 

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thang.

Hướng dẫn giải: 

Hình hình họa minh họa câu 8 - kỹ năng về hai đường thẳng vuông góc

Ta thấy:

- MN // PQ (// AB)

- NP // MQ (// CC’)

MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB. 

Vì nhị tam giác đều ABC và ABC’ đem cộng đồng cạnh AB nên 

- CH ⊥ AB 

- C'H ⊥ AB 

Suy đi ra AB ⊥ (CHC') 

Do cơ AB ⊥ CC' 

Ta lại có: 

- PQ // AB

- PN // CC’

- AB ⊥ CC’

$\Rightarrow$ PQ ⊥ PN

Mà MNPQ là hình bình hành (chứng minh trên)

Kết luận tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Đáp án đúng: B

Câu 9. Cho tứ diện ABCD với $AC = \frac{3}{2}AD, \widehat{CAB}=\widehat{DAB}=60^{o}, CD = AD$. Gọi $\varphi$ là góc thân thuộc AB và CD. Chọn xác định trúng ?

A. cos$\varphi$ = 3/4  B. $\varphi$= 60o  C. $\varphi$= 30o  D.cos$\varphi$=1/4 

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

$\overrightarrow{AB }.  \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB }. (\overrightarrow{AD }- \overrightarrow{AC})$
$= \overrightarrow{AB }. \overrightarrow{AD }- \overrightarrow{AB }. \overrightarrow{AC}$

= AB.AD.cos60o - AB.AC.cos60o

= ½ AB.AD - ½ AB.AC = AB/2. (AD - AC)

= -¼ AB.AD = -¼ AB.CD (1)

 Lại có: $\overrightarrow{AB }.  \overrightarrow{CD}$ = AB.CD.cos($\overrightarrow{AB }.  \overrightarrow{CD}$) (2)

Từ (1) và (2) => cos ($\overrightarrow{AB }.  \overrightarrow{CD}$) = -¼ => cos$\varphi$=1/4

Đáp án đúng: D

Câu 10.  Cho hình chóp S.ABC đem SA = SB = SC và $\widehat{ASB} =\widehat{BSC}=\widehat{CSA}$. Hãy xác lập góc thân thuộc cặp vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ?

A. 60o          B. 120o         C. 45o         D.90o

Giải

Chọn D

Ta có: SA = SB = SC nên: 

$\Delta SAB=\Delta SBC=\Delta SCA$ ( c- g-c)

$\Rightarrow$ AB = BC = CA

- Do cơ, tam giác ABC đều. 

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. 

- Vì hình chóp S.ABC đem SA = SB = SC nên hình chiếu của S trùng với G. Hay SG ⊥ (ABC). 

Ta có:

- AC ⊥ BG

- AC ⊥ SG

$\Rightarrow$AC ⊥ (SBG)

Suy đi ra AC ⊥ SB

- Vậy góc thân thuộc cặp vectơ SB và AC vị 90o

Đăng ký ngay lập tức và để được những thầy cô tổ hợp kỹ năng và thi công trong suốt lộ trình ôn ganh đua sớm ngay lập tức kể từ bây giờ


Hai đường thẳng liền mạch vuông góc vô chương trình toán 11 là phần kỹ năng đặc biệt cần thiết, là nền móng cho những dạng toán sau đây. VUIHOC vẫn trình diễn cụ thể về lý thuyết giống như bài bác luyện áp dụng về hai đường thẳng vuông góc gom những em ôn luyện đơn giản rộng lớn. Để thăm dò hiểu về những nội dung bài viết hoặc không giống, những em rất có thể truy vấn vô Vuihoc.vn nhằm ĐK thông tin tài khoản hoặc contact ngay lập tức trung tâm tương hỗ ngay lập tức nhằm ôn luyện được thiệt nhiều kỹ năng nhé!

Xem thêm: toán lớp 5 luyện tập trang 77

Bài viết lách tìm hiểu thêm thêm:

Vecto vô ko gian

Đường trực tiếp vuông góc với mặt mũi phẳng