giải bất phương trình logarit

Bạn đang xem: giải bất phương trình logarit

Để tóm được lý thuyết và cơ hội giải bài xích tập luyện về bất phương trình Logarit hãy thăm dò hiểu kiến thức và kỹ năng tổng quát mắng về bất phương trình Logarit trước nhé. Xem bên trên bảng bên dưới đây:

1. Phương trình và bất phương trình Logarit

1.1. Phương trình Logarit

Phương trình Logarit là phương trình sở hữu chứa chấp ẩn số vô biểu thức bên dưới lốt Logarit, sở hữu dạng $log_{a}x=b (a> b; a\neq 1; x> 0)$ vô cơ, x là ẩn số cần thiết đi tìm kiếm. 

Chứng minh phương trình bên trên sở hữu nghiệm: 

- kề dụng khái niệm Logarit tớ có: $log_{a}x=b \Leftrightarrow x=a^{b}$

- Minh họa vị đồ gia dụng thị hàm số, tớ có:

Ta rất có thể thấy đồ gia dụng thị của những hàm số $y=log_{a}x$  và y=b luôn luôn hạn chế nhau bên trên một điểm $\forall b\in R$

Như vậy, phương trình Logarit $log_{a}x=b (a> b; a\neq 1; x> 0)$ luôn luôn sở hữu nghiệm độc nhất là $x=a^{b}$ với từng b

- Ví dụ: $log_{3}x=2 \Leftrightarrow x=3^{2}=9$

1.2. Bất phương trình Logarit 

Tương tự động như phương trình Logarit, bất pt Logarit sở hữu dạng $log_{a}x> b; log_{a}x\geqslant b; log_{a}x< b; log_{a}x\leqslant b$ với ĐK $a> 0; a\neq 1; x> 0$

Chứng minh bất phương trình Logarit $log_{a}x> b$ sở hữu nghiệm

- Xét bất phương trình Loga, tớ có:

+ Trường phù hợp $a>1: log_{a}x> b \Leftrightarrow x> a^{b}$

+ Trường phù hợp $0<a<1: log_{a}x> b \Leftrightarrow 0< x<  a^{b}$

- Minh họa bất phương trình $log_{a}x> b$ bằng đồ gia dụng thị với 2 tình huống, tớ có:

Như vậy:

+ Trường phù hợp a>1: $log_{a}x> b$ Khi và chỉ Khi $x> a^{b}$

+ Trường phù hợp 0<a<1: $log_{a}x> b$ Khi và chỉ Khi $0< x<  a^{b}$

- Kết luận: Nghiệm của bất phương trình Logarit $log_{a}x> b$ bao gồm

Ví dụ: $log_{3}x> 5 \Leftrightarrow x> 3^{5} \Leftrightarrow x= 243$

Xem thêm: Bất phương trình Logarit cơ phiên bản - vừa đủ và dễ dàng nắm bắt nhất

Tham khảo ngay lập tức cỗ tư liệu ôn tập luyện kiến thức và kỹ năng và tổ hợp cách thức giải từng dạng bài xích tập luyện vô đề đua Toán trung học phổ thông Quốc gia

2. Các cơ hội giải bất phương trình logarit 

Để giải những bất pt Logarit, tất cả chúng ta sở hữu những cơ hội sau:

2.1. Giải bất PT Logarit vị cách thức trả về nằm trong cơ số

Ví dụ 1: (THPT Hàm Rồng 2019) Bất phương trình $log_{4}(x+7)> log_{2}(x+1)$ sở hữu từng nào nghiệm nguyên

A. 3          B.1          C.4          D.2

Lời giải: Chọn D

Điều khiếu nại xác lập của bất phương trình Logarit là: 

$\left\{\begin{matrix}x+7> 0 &  & \\ x+1> 0 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x> -7 &  & \\ x> -1&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x> -1$

Ta có: $log_{4}(x+7)> log^{2}(x+1)\Leftrightarrow \frac{1}{2}log_{2}(x+7)> log^{2}(x+1)\Leftrightarrow log_{2}(x+7)> log_{2}(x+1)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+x-6< 0\Leftrightarrow -3< x< 2$

Kết phù hợp ĐK bpt logarit tớ được: $-1< x< 2$

Vì $x\in Z $ nên thăm dò được x=0, x=1

Ví dụ 2: (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Có toàn bộ từng nào số nguyên vẹn x vừa lòng bpt logarit $log_{\frac{1}{2}}[log_{2}(2-x^{2})]> 0$

A. Vô số          B.1          C.0          D.2

Lời giải: Chọn C

$log_{\frac{1}{2}}[log_{2}(2-x^{2})]> 0$

$\Leftrightarrow 0< log_{2}(2-x^{2})< 1$

$\Leftrightarrow 1< 2-x^{2}< 2$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2-x^{2}< 2 &  & \\  2-x^{2}> 1&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^{2}> 0&  & \\  x^{2}< 1&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\neq 0 &  & \\ -1< x< 1 &  & \end{matrix}\right.$

Kết phù hợp với fake thiết x là số nguyên vẹn, tớ thấy không tồn tại số nguyên vẹn x nào là vừa lòng bpt logarit $log_{\frac{1}{2}}[log_{2}(2-x^{2})]> 0$

Từ 2 ví dụ bên trên đã cho thấy, nhằm vận dụng cách thức trả về nằm trong cơ số, tớ chỉ việc phân tách, biến hóa những cơ số về trở thành cơ số công cộng. Từ cơ tớ trả về dạng bất phương trình cơ phiên bản và giải như thông thường.

2.2. Giải bất phương trình Logarit vị cách thức bịa ẩn phụ

Ví dụ 1: (Mã 123 2017) Tìm tập luyện nghiệm S của bpt logarit $log_{2}^{2}x-5log_{2}x+4\geqslant 0$

A. $S=(-\infty;1]\cup [4;+\infty ]$

B. $S=[2;16]$

Xem thêm: ba cuso4

C. $S=(0;2]\cup [16;+\infty]$

D. $S= (-\infty;2)\cup[16;+\infty)$

Lời giải: Chọn C

- Điều khiếu nại x>0

- BPT tương đương: $log_{2}x\geqslant 4$ hoặc $log _{2}x\geqslant 1log _{2}x\geqslant 1$

$x\geqslant 16$ hoặc $x\leqslant 2$

- Kết phù hợp ĐK tớ có: $S=(0;2]\cup [16;+\infty ]$

Ví dụ 2: Cho bpt logarit $log_{x}2(2+log_{2}x)> \frac{1}{log_{2x}2}$

Lời giải:

Điều khiếu nại $\left\{\begin{matrix}x> 0 &  & \\  x\neq 1&  & \\ x\neq \frac{1}{2}&  & \end{matrix}\right.$

(4) $log_{x}2(2+log_{2}x)> log_{2}(2x)\Leftrightarrow log_{x}2(2+log_{2}x)> 1+log_{2}x$

Đặt $t=log_{2}x$, tớ có:

$\frac{1}{t}(2+t)> 1+t\Leftrightarrow \frac{2+t-t(1+t)}{t}> 0\Leftrightarrow \frac{-t^{2}+2}{t}> 0$ Khi và chỉ khi: $0< t< \sqrt{2}$ hoặc $t< -\sqrt{2}$

+ Với tình huống $0< t< \sqrt{2}\Rightarrow 0< log_{2}x< \sqrt{2}\Leftrightarrow 1< x< 2^{\sqrt{2}}$

+ Với tình huống $t< -\sqrt{2}\Rightarrow log_{2}x< -\sqrt{2}\Leftrightarrow 0< x< 2^{-\sqrt{2}}$

Vậy tập luyện nghiệm của BPT (4) là $x\in (0;2^{-\sqrt{2}})\cup (1;2^{\sqrt{2}})$

Từ những ví dụ minh họa trên, tớ rất có thể thấy mục tiêu của cách thức này đó là quy đổi bất pt logarit ở đề bài xích về những dạng bất phương trình logarit đại số không xa lạ. Để thực hiện được vì vậy, tất cả chúng ta chỉ việc phân tách và thăm dò đi ra điểm công cộng trong số những cơ số. Sau cơ gọi là mang đến cơ số công cộng rồi trả về dạng bất phương trình $ax^{2}+bx+c \geqslant 0$ rồi giải như thông thường.

2.3. Giải bất phương trình Logarit bằng cách thức hàm số

Ví dụ 1: Cho bất phương trình: $x+ log_{2}\sqrt{x+1}+log_{3}\sqrt{x+9}> 1 (5)$

Lời giải:

Điều khiếu nại $x> -1$

Bất pt Logarit

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}log_{2}(x+1)+\frac{1}{2}log_{3}(x+9)> 1\Leftrightarrow g(x)=2x+log_{2}(x+1)+ log_{3}(x+9)> 2$

$g'(x)= 2+ \frac{1}{(x+1)In2}+\frac{1}{(x+9)In3}> 0\Rightarrow g(x)$ đồng phát triển thành bên trên $(-1;+\infty )$

BPT $\Leftrightarrow g(x)> g(0)\Leftrightarrow x> 0$

Vậy nghiệm của BPT là $(0;+\infty )$

Ví dụ 2: Cho bpt logarit $2x^{2}-10x+10> log_{2}\frac{2x-2}{(x-2)^{2}}$ (6)

Lời giải

Điều kiện: $x> \frac{1}{2};x\neq 2$

Khi cơ BPT $\Leftrightarrow 2(x-2)^{2}+ log_{2}(x-2)^{2}> 2.\frac{2x-1}{2}+log_{2}\frac{2x-1}{2}$

Ta có: $f[(x-2)^{2})] > g \frac{2x-1}{2}\Leftrightarrow (x-2)^{2}> \frac{2x-1}{2}$

Đáp số: $x> \frac{5+\sqrt{7}}{2}; \frac{5-\sqrt{7}}{2}> x> \frac{1}{2}$

Bên cạnh cách thức trả về nằm trong cơ số hoặc bịa ẩn phụ, tất cả chúng ta trọn vẹn rất có thể vận dụng tính đơn điệu của hàm số nhằm thăm dò đi ra tập luyện nghiệm của những bất phương trình Logarit.

Xem thêm: Cách giải bất phương trình Logarit - sở hữu ví dụ dễ dàng hiểu

3. Các bài xích tập luyện về bất pt Logarit hoặc nhất, sở hữu điều giải 

Tải đầy đủ cỗ đề + đáp án bài xích tập luyện Bất phương trình logarit tại: Tuyển lựa chọn BT bất phương trình logarit

Bạn cũng rất có thể coi tăng livestream Bất phương trình logarit của thầy Thành Đức Trung nhằm tóm đầy đủ những dạng bài xích phần kiến thức và kỹ năng này nhé: 

Trên đấy là những công thức na ná bài xích tập luyện áp dụng về bất phương trình Logarit nhưng mà những em rất có thể tìm hiểu thêm. Chúc em học tập tốt!

Xem thêm: nch2=ch2