Cấp Số Nhân Là Gì? Công Thức Tính Tổng Cấp Số Nhân Và Bài Tập

Cấp số nhân là phần kỹ năng và kiến thức cần thiết vô công tác toán trung học phổ thông. Trong số đó, những công thức cấp số nhân khá phức tạp. Vì vậy, nhằm thực hiện bài xích luyện thì những em cần thiết ghi ghi nhớ và biết phương pháp áp dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại những công thức và bài xích luyện cung cấp số nhân qua quýt nội dung bài viết tại đây.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là 1 trong sản phẩm số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhì, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với một số trong những ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cung cấp số nhân). Có nghĩa là:

Bạn đang xem: công thức cấp số nhân

$u_{n}$ là cung cấp số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n \in N^{\ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$ , với $u_{n}=3^{n}$ là 1 trong cung cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cung cấp số nhân u_n có

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cung cấp số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cung cấp số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$

3. Tính hóa học cung cấp số nhân

$(u_{n})$ là 1 trong cung cấp số nhân thì kể từ số hạng loại nhì, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cung cấp số nhân hữu hạn) tiếp tục vày tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

Nếu một cung cấp số nhân u_n với số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát tháo u_n sẽ tiến hành tính vày công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cung cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0.

Biết u₁ = 1; u₃ =3. Hãy dò thám u₄

Lời giải:

Ta có: u₂²= u₁. u₃= 3

u₃²= u₂. u₄

Từ (1) vì thế u₂ > 0 ( vì thế u₁=1 > 0 và q > 0)

$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

Khi q = 0 thì sản phẩm với dạng u₁; 0;0…;0;… và S_n=u₁
Khi q = 1 thì sản phẩm với dạng u₁;u₁;u₁;...;u₁;... và S_n=nu₁.
Khi u₁= 0 thì với từng q, cung cấp số nhân với dạng 0; 0; 0;…; 0;… và S_n=u₁.

Đăng ký ngay lập tức nhằm được trao trọn vẹn cỗ kỹ năng và kiến thức về cung cấp số nhân

4. Tổng ăn ý những công thức tính cung cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1$
Kết luận:

Nếu q là ko thay đổi thì sản phẩm u_n là cung cấp số nhân
Nếu q thay cho thay đổi thì sản phẩm u_n ko là cung cấp số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cung cấp số nhân với số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng trước tiên.

Lời giải:

Ta với 6 số hạng trước tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân U_n với số hạng loại nhì là 10 và số hạng loại năm là 1250.

Tìm số hạng loại nhất
Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

Đặt r là công bội của cung cấp số nhân.

Ta có: r^(5-2)= r³ hoặc r³ = 1250 : 10 = 125 = 5³. Từ bại r = 5.

$\Rightarrow$ u1=10=5=2.

Số hạng loại nhất là 2

2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài mang đến cung cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$ . Dãy số U_n bên trên là cung cấp số nhân trúng hoặc sai?

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không tùy thuộc vào n. Vậy sản phẩm số (U_n) là 1 trong cung cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cung cấp số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc thù của CSN, thay đổi nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cung cấp số nhân U_n với U₁ = 2, U₂ = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tao có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

Ví dụ 2: Cho cung cấp số nhân U_n với U₁ = 3, U₂ = -6. Tính công bội q.

Lời giải:

Từ công thức tao có:

$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$

Ví dụ 3: Đề mang đến tía số x,y,z lập trở nên một cung cấp số nhân và tía số x, 2y, 3z lập trở nên một cung cấp số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải:

Đặt q là công bội của cung cấp số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở nên một cung cấp số nằm trong $\Rightarrow x+3z=4y$

Giải câu hỏi công thức cấp số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cung cấp số nhân

Phương pháp:

Để dò thám số hạng của cung cấp số nhân tao dùng công thức tính số hạng tổng quát tháo U_n = U₁.q_n-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u₁và q của cung cấp số nhân biết:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Ta đổi thay đổi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12$

Vậy cung cấp số nhân (u_n) với u₁ = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài mang đến cung cấp số nhân (u_n) với u₃= 8 , u₅= 32. Số hạng loại 10 của cung cấp số nhân bại là?

Lời giải:

Gọi q là công bội của cung cấp số nhân (u_n), tao với $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$

Với q = 2, tao với u₁₀= u₃. q^₇= 8 . 2^₇= 1024

Với q = -2, tao với u₁₀= u₃. q⁷= 8 . (-2)⁷= -1024

Ví dụ 3: Cho cung cấp số nhân (u_n), hiểu được số hạng trước tiên u₁= 3, công bội là 2. Hãy dò thám số hạng loại 5

Lời giải:

Áp dụng công thức tao với : u_n= u₁. q^n–1

$\Leftrightarrow$ u₅= u₁. q⁴=3 . 2⁴= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cung cấp số nhân của n số hạng trước tiên vô dãy

Ta dùng công thức:

Công thức tính tổng CSN của n số hạng trước tiên vô sản phẩm - công thức cấp số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng cung cấp số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(u_n) với u₁=2 và q = 3.

$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$

Ví dụ 2: Bài mang đến cung cấp số nhân (u_n) với

$(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cung cấp số nhân bên trên là gì?
10 số hạng đầu của cung cấp số nhân (u_n) bên trên với tổng là bao nhiêu?

Lời giải:

Giải bài xích luyện vận dụng công thức cấp số nhân

Ví dụ 3: Cho cung cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$

Dãy số là cung cấp số nhân là trúng hoặc sai?
Tính S = u₂+ u₄+ u₆... + u₂₀

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ ko tùy thuộc vào n. Vậy sản phẩm số (U_n) là 1 trong cung cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$
Dãy số: u₂, u₄, u₆,..., u₂₀ lập trở nên một cung cấp số nhân với số hạng đầu là u₂= 9, q = 3

$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác tấp tểnh những bộ phận kết cấu nên một cung cấp số nhân như: số hạng đầu U₁, công bội q tiếp sau đó suy rời khỏi được công thức mang đến số hạng tổng quát tháo .

Ví dụ 1: CSN (u_n) như sau, dò thám u₁ khi:

$u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}$

Mà $u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9$

Lời giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow$ Ta với q = 3 hoặc $q = \frac{1}{3}$

Khi bại đợt lượt $u_{1} = \frac{81}{11}$ hoặc $u_{1} = \frac{1}{11}$

Xem thêm: giải sách toán 10 chân trời sáng tạo

Ví dụ 2: Dãy số này là cung cấp số nhân:

1;0,2;0,04;0,008;...
1,22,222,2222,...
X,2x,3x,4x,...
2,3,5,7,...

Lời giải:

Xét đáp án A tao có:

u₁= 1, u₂= u₁. 0,2, u₃= u₁. (0,2)², u₄= u₁. (0,2)³

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tao chứng tỏ được u_n= (0,2)ⁿ

Khi bại $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2$ ko đổi

Vậy sản phẩm số là cung cấp số nhân với công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cung cấp số nhân với sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Gọi cung cấp số nhân (u_n) cần thiết dò thám với công bội q, số hạng trước tiên u_n.

Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}$

s₅' = u₂+ u₃ + u₄ + u₅ + u₆

= u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q

= q . (u₁+ u₂+ u₃+ u₄+ u₅)

= q . S₅

Mà S₅= 31; S₅' = 62

$\Rightarrow q=2$

$u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1$

Vậy cung cấp số nhân (u_n) là 1;2;4;8;16;32

Nắm trọn vẹn kỹ năng và kiến thức và cách thức giải từng dạng bài xích luyện Toán trung học phổ thông với cỗ bí mật độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cung cấp số nhân (u_n) với công bội q thỏa mãn nhu cầu -1 < q <1 thì cung cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S_n= u₁(1 - qⁿ)(1 - q) = u₁(qⁿ- 1)(q - 1)

Trong bại s_n là tổng n số hạng trước tiên của cung cấp số nhân (u_n)

Ví dụ: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243}$ là một cung cấp số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{3}$

5.2. Bài toán tổng của cung cấp số nhân lùi hạn

Đề bài xích mang đến cung cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tao với tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tổng

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1, q=\frac{-1}{3}$ nên

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2: Biểu biểu diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải:

Ta có:

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}$

Vậy $0,777...=\frac{7}{9}$

Ví dụ 3: Tổng của một cung cấp số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ tổng tía số hạng trước tiên của sản phẩm số là $\frac{39}{25}$ . Xác tấp tểnh (u₁), q của cung cấp số đó?

Lời giải:

Giải câu hỏi vận dụng công thức cấp số nhân

6. Một số bài xích luyện cung cấp số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cung cấp số nhân un với công bội q

a) hiểu u₁= 2, u₆ = 486. Tìm q

b) hiểu $q= \frac{2}{3}$ , $u_{4} = \frac{8}{21}$ . Tính u₁

c) hiểu u₁ = 3, q = -2. Xác tấp tểnh số 192 là số hạng loại bao nhiêu vô cung cấp số nhân?

Lời giải:

Áp dụng công thức u_n = u₁.q^n-1

a) Theo công thức bên trên tao có: u₆ = u₁.q⁵ $\Rightarrow$ $q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3$

b) Theo công thức tao có: u₄ = u₁.q³ $\Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}$

c) Theo công thức tao có: $12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7$

Vậy số 192 là số hạng loại 7

Câu 2: Tìm những số hạng của cung cấp số nhân (u_n) biết cung cấp số nhân bao gồm với 5 số hạng và:

a) TH1: u₃= 3 , u₅= 27

b) TH2: u₄– u₂ = 25 , u₃ – u₁ = 50

Lời giải:

a) Theo công thức u_n = u₁.q^{n - 1} ta với thứu tự những số hạng u₃ và u₅ được tính như sau:

u₃ = u₁.q² $\Rightarrow$ 3 = u₁.q² (1)

u₅ = u₁.q⁴ $\Rightarrow$ 27 = u₁.q⁴ (2)

Từ (1) và (2) tao rất có thể suy rời khỏi được

$q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3$

Xét ngôi trường hợp:

Với q = 3 tao với $u_{1} = \frac{1}{3}$ ta với cung cấp số nhân thứu tự là: $\frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27$

Với q = -3 tao với $u_{1} = -\frac{1}{3}$ ta với cung cấp số nhân thứu tự là: $\frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27$

b) Theo đề bài xích rời khỏi tao có:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.$

Thay (2) vô phương trình (1) tao với 50.q = 25 $\Leftrightarrow q = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}$

Vậy tao với cung cấp số nhân như sau:

$-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}$

Ví dụ 3: Tìm cung cấp số nhân với sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu vày 31, kể từ bại tao suy ra:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 31

$\Rightarrow$ u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q = 31q

$\Rightarrow$ u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau vày 62 kể từ thách thức suy ra

u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S₅ = 31 = $\frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1$

Vậy tao với cung cấp số nhân theo đòi đề bài xích là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng dân sinh của tỉnh x là 1 trong những,4%. hiểu rằng bên trên thời khắc tham khảo số dân của tỉnh lúc này là 1 trong những,8 triệu con người, chất vấn với nút tăng lương lậu như thế thì sau 5 năm, 10 năm số nữa dân sinh của tỉnh bại là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh bại lúc này là N

Sau 1 năm dân sinh tăng là 1 trong những,4%N

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này là n + 1,4%N = 101,4%N

Số dân tỉnh bại sau từng năm lập trở nên một cung cấp số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; …

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân)

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài xích mang đến u_n với những số hạng 0, tìm u₁ biết:

$u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}$ . Mà $u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9$

Lời giải:

Giải câu hỏi vận dụng công thức cấp số nhân

Tham khảo ngay lập tức một số trong những dạng bài xích luyện thương gặp gỡ về cung cấp số nhân được những thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng suốt thời gian học tập kể từ mất mặt gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đòi sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài xích thì thôi

⭐ Rèn tips tricks gom bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền vô quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test free ngay!!

Xem thêm: đề thi giữa kì 2 toán 7 cánh diều

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên rất có thể giải những bài xích luyện kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện nhằm học tập và ôn luyện kỹ năng và kiến thức Toán 11 phục vụ ôn ganh đua trung học phổ thông QG ngay lập tức kể từ ngày hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

Tổng ăn ý những công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân & bài xích tập
Cấp số nằm trong là gì? Công thức cung cấp số nằm trong và bài xích tập
Xác suất của đổi thay cố
Giới hạn của sản phẩm số